Aufgabe - Die Folge ((-1) hoch n frac{17}{n}

• Involvierte Definitionen:
  • Nullfolge
  • Konvergenz
• Referenz: Mathegrundlagen

Aufgabe: Die Folge

Die Folge konvergiert gegen und ist damit eine Nullfolge.

Beweis

Den Beweis führen wir anhand von Proposition 13.4.9. Dazu teilen wir in zwei Folgen auf.

Es sei und .

• Wir werden nun zuerst zeigen, dass beschränkt ist.
• Anschließend zeigen wir, dass eine Nullfolge ist.

Mit Proposition 13.4.9 folgt aus diesen beiden Punkten, dass die Folge eine Nullfolge ist.

Teil 1: ist beschränkt.

Nach Definition 13.2.6 ist zu zeigen, dass die Menge

beschränkt ist. Das ist offensichtlich der Fall, es gilt:

Es gilt also, dass beschränkt ist.

Teil 2: ist eine Nullfolge

Mit dem Satz des Eudoxos gilt

Entsprechend konvergiert auch gegen , ist also eine Nullfolge.

Abschluss

Da beschränkt und eine Nullfolge ist, folgt mit Proposition 13.4.9, dass die Folge eine Nullfolge ist.